Μετρικοί χώροι στην Φυσική.

Ο χώρος στον οποίο είναι διατυπωμένοι οι νόμοι της κλασσικής Μηχανικής είναι ο Ευκλείδειος χώρος, δηλαδή ένας χώρος ανεξάρτητος από την ύλη, με σταθερή, θετική μετρική. Σταθερή, θετική μετρική σημαίνει ότι η απόσταση ανάμεσα σε δύο διαφορετικά σημεία είναι πάντοτε θετική, η ίδια σε όλα τα σημεία του «σύμπαντος», και ανεξάρτητη από τον χρόνο ή την παρουσία της ύλης. Ο Ευκλείδειος δεν είναι ο μοναδικός χώρος στον οποίο διατυπώνονται οι φυσικοί νόμοι. Η ειδική θεωρία της σχετικότητας είναι διατυπωμένη σ’ έναν ψευδοευκλείδειο χώρο, στον οποίο οι αποστάσεις μπορεί να είναι θετικές, μηδενικές ή και αρνητικές. Οι ιδιότητες αυτού του χώρου, του χώρου Minkowski, είναι συνέπεια της πεπερασμένης ταχύτητας της ηλεκτρομαγνητικής αλληλεπίδρασης^. πεπερασμένη ταχύτητα η οποία και ανέδειξε την ενότητα του χώρου και του χρόνου. Η γενική θεωρία της σχετικότητας είναι διατυπωμένη σ’ έναν χώρο με μεταβλητή μετρική, τον χώρο Riemann, οι ιδιότητες του οποίου καθορίζονται από την παρουσία της ύλης.

 Ο χώρος της κβαντικής μηχανικής, τέλος, ο χώρος Hilbert, είναι ένας γενικευμένος ευκλείδειος χώρος με άπειρες διαστάσεις, ο οποίος ορίζεται στο σώμα των μιγαδικών αριθμών. Οι ιδιότητές του ανταποκρίνονται στις ιδιομορφίες των κβαντικών συστημάτων (ιδιοδιανύσματα, ιδιοτιμές, μη συμβατά παρατηρήσιμα, αρχή της επαλληλίας, αρχή της λεγόμενης φασματικής ανάλυσης, πιθανοκρατικός χαρακτήρας της κβαντικής μηχανικής κ.λπ.). Ο χώρος Hilbert είναι μετρικός, με ωρισμένο το εσωτερικό γινόμενο. Η «νόρμα» ενός διανύσματος είναι πραγματικός, μη αρνητικός αριθμός, μηδενικός μόνο εάν Ψ=0. Η ιδιότητα αυτή ανταποκρίνεται στο ότι η πιθανότητα παρουσίας ενός σωματίου σε ένα σημείο του χώρου είναι θετικός αριθμός ή μηδέν (το σωμάτιο θα υπάρχει ή δεν θα υπάρχει στον συγκεκριμένο χώρο). Το άθροισμα των πιθανοτήτων για όλον τον διαθέσιμο χώρο είναι ίσο με την μονάδα (το σωμάτιο θα βρίσκεται σε κάποιο σημείο του χώρου). Αντίστοιχα, το άθροισμα των πιθανοτήτων δημιουργίας όλων των δυνατών καταστάσεων είναι, όπως είναι αυτονόητο, ίσο με την μονάδα, δηλαδή 100%. Πιο απλά: ο χώρος Hilbert είναι ένας νοητικός, δηλαδή φανταστικός, μαθηματικός χώρος, ο οποίος χρησιμεύει σαν «κατοικία» των κυματοσυναρτήσεων (για το τι είναι κυματοσυνάρτηση βλ. «Κατά παρέγκλιση κίνηση και σύγχρονη Φυσική. Μέρος Β΄.», Ιανουάριος 2014).

 Στην συνέχεια θα ασχοληθούμε με τους άλλους τρεις μετρικούς χώρους, τους οποίους έχουμε ήδη αναφέρει.

               (Πηγή εικόνας: http://el.science.wikia.com}

 Η θετική, σταθερή μετρική του Ευκλείδειου χώρου συνεπάγεται τις ακόλουθες ιδιότητες:

1) Ο Ευκλείδειος χώρος είναι επίπεδος, χωρίς δομή. Ο χώρος τον οποίο προϋποθέτουν οι εξισώσεις της Μηχανικής μπορεί να είναι άπειρος.

     2) Ο Ευκλείδειος χώρος είναι ομοιογενής και ισότροπος, υπάρχει δηλαδή ισοδυναμία των σημείων του χώρου σε σχέση με την κίνηση ενός σωματίου.

        3) Ο χρόνος δεν επεμβαίνει στην Ευκλείδεια μετρική (ανεξαρτησία του χρόνου από τον φυσικό χώρο, δηλαδή απολυτότητα του χρόνου και του χώρου, που νοούνται ξεχωριστά το ένα από το άλλο).

      4) Η κατανομή των μαζών δεν επηρεάζει την Ευκλείδεια μετρική. Συνεπώς, ο φυσικός χώρος έχει ιδιότητες ανεξάρτητες από την παρουσία της ύλης.

 Ο Νεύτων, δεχόμενος την ύπαρξη του απόλυτου άπειρου χώρου ως κενού, ακίνητου δοχείου το οποίο δέχεται την ύλη, συνέβαλε στην εδραίωση της πεποίθησης ότι οι ιδιότητες του φυσικού χώρου αντιστοιχούν στις ιδιότητες του Ευκλείδειου χώρου. Το γεγονός ότι στην εποχή του Νεύτωνα, και μέχρι τον 19ο αιώνα, οι μαθηματικοί δεν γνώριζαν άλλο χώρο εκτός από τον Ευκλείδειο, οδήγησε σε δύο βασικά αντίθετες φιλοσοφικές αντιλήψεις για τον χώρο:

1) Στην υλιστική μηχανιστική αντίληψη, κατά την οποία ο χώρος είναι αντικειμενική μορφή, ανεξάρτητη από την ύλη και την κίνηση.

2) Στην Καντιανή αντίληψη, κατά την οποία ο χώρος και ο χρόνος αποτελούν προεμπειρικές (a priori) μορφές της εποπτείας και όχι αντικειμενικές μορφές ύπαρξης της ύλης.

 Η πρόοδος της φυσικής και η διατύπωση των ιδιοτήτων του ψευδοευκλείδειου και του ρημάνειου χώρου, τροφοδότησαν με την σειρά τους δύο διαφορετικές αντιλήψεις: την ρεαλιστική – υλιστική αντίληψη, κατά την οποία ο χώρος και ο χρόνος είναι μορφές ύπαρξης της ύλης οι οποίες συνδέονται οργανικά μεταξύ τους, και τις συμβατικές και θετικιστικές απόψεις, κατά τις οποίες ο χώρος και ο χρόνος δεν είναι οντολογικές κατηγορίες, αλλά βολικές συμβάσεις για την κατάταξη των δεδομένων της εμπειρίας. Σύμφωνα με τις τελευταίες αντιλήψεις, η χαρακτηριστική ιδιότητα του χώρου να έχει τρεις διαστάσεις «δεν είναι παρά μία εσωτερική, κατά κάποιο τρόπο, ιδιότητα της ανθρώπινης διάνοιας. Αρκεί να καταστρέψουμε μερικές απ’ αυτές τις συνδέσεις, δηλαδή τις συσχετίσεις ιδεών, για να έχουμε έναν διαφορετικό πίνακα κατανομής, κι αυτό θα μπορούσε να είναι αρκετό για να αποκτήσει ο χώρος μία τέταρτη διάσταση» (H. Poincare, Science et methode, Flammarion, Paris, 1947). Θα μπορούσε κανείς να απαντήσει στις αντιλήψεις αυτές ότι δεν αποδίδουμε στον χώρο τρεις διαστάσεις για λόγους βολικότητας, αλλά γιατί ο χώρος έχει τρεις διαστάσεις: αν προσπαθήσουμε να περιγράψουμε σ’ έναν χώρο δύο διαστάσεων ένα φαινόμενο που συμβαίνει στον φυσικό χώρο θα αποτυγχάναμε, ο μαθηματικός μας χώρος θα ήταν «μη πλήρης». Αν αντίθετα επιχειρήσουμε να προσθέσουμε μία τέταρτη διάσταση, θα διαπιστώναμε ότι το 4ο διάνυσμα είναι γραμμική συνάρτηση των τριών διανυσμάτων βάσης, που συνιστούν μία «πλήρη» βάση σε αρμονία με τον φυσικό χώρο. Αν η περιγραφή στον τρισδιάστατο χώρο είναι «βολική» και «αποτελεσματική», αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι αντιστοιχεί στις αντικειμενικές ιδιότητες του φυσικού χώρου, ο οποίος πολύ απλά έχει τρεις διαστάσεις.

            (Πηγή εικόνας: https://physics4u.wordpress.com}            

 Ας επανέλθουμε, όμως, στους μετρικούς μας χώρους. Όπως, ήδη, είπαμε η Μηχανική και η Ουράνια Μηχανική έχουν διατυπωθεί στα πλαίσια ενός Ευκλείδειου χώρου. Η ηλεκτρομαγνητική θεωρία έχει διατυπωθεί σε έναν ψευδοευκλείδειο χώρο, τον χώρο Minkowski. Και από τους δύο χώρους απουσιάζει η ύλη. Η γενική θεωρία της σχετικότητας, αντίθετα, διατυπώθηκε σ’ έναν χώρο Riemann,  δηλαδή έναν χώρο με μεταβλητή μετρική, οι γεωμετρικές ιδιότητες του οποίου καθορίζονται από την κατανομή της ύλης στον περιβάλλονται χώρο. Πιο συγκεκριμένα, η μορφή του χώρου Riemann καθορίζεται από τα δυναμικά του πεδίου βαρύτητας, τα οποία, με την σειρά τους, καθορίζονται από την κατανομή της ύλης. Ο Ευκλείδειος χώρος είναι ανεξάρτητος από την ύλη και την κίνηση. Ο χώρος Minkowski εκφράζει την ενότητα, τον αμοιβαίο καθορισμό, του χώρου, του χρόνου και της κίνησης. Ο χώρος Riemann εκφράζει την ενότητα χώρου, χρόνου, κίνησης και μαζών. Οι τρεις χώροι συνδέονται μεταξύ τους διαλεκτικά: ο ένας μεταπίπτει στον άλλο, ανάλογα με την απουσία ή μη της ύλης και της κίνησης. Ο χώρος Riemann μεταπίπτει στον χώρο Minkowski αν αγνοηθεί η παρουσία του βαρυτικού πεδίου, δηλαδή η παρουσία της ύλης. Και ο χώρος Minkowski δεν είναι παρά γενίκευση του Ευκλείδειου χώρου, στον οποίο μεταπίπτει οριακά για μικρές ταχύτητες. Όπως έχουμε αναφέρει στο προηγούμενο άρθρο «Ύλη και θεωρίες Σχετικότητας», το νέο «παράδειγμα», η νέα θεωρία, δεν διαψεύδει την παλαιά. Αναδεικνύει τα ιστορικά-γνωσιοθεωρητικά του όρια, το γενικεύει και το επανευρίσκει στο όριο, παρά την διαφορετική αξιωματική θεμελίωση.

 Τι είναι, όμως, ύλη; Στο ερώτημα αυτό δώσαμε απάντηση στο παραπάνω αναφερόμενο άρθρο, «Ύλη και θεωρίες Σχετικότητας», θα επαναλάβουμε, όμως, τα όσα έχουμε γράψει εκεί γιατί εξακολουθούν και γίνονται βασικά λάθη στο θέμα αυτό. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι ύλη είναι παν ό,τι υπάρχει, κι αυτό που υπάρχει, υπάρχει αντικειμενικά, ανεξάρτητα από τον παρατηρητή, και ανεξάρτητα από τις ειδικές μορφές με τις οποίες υπάρχει (η πολλαπλή χρήση του ρήματος υπάρχει δεν είναι τυχαία). Κατά τον Einstein, ύλη δεν είναι μόνον τα μαζικά σωμάτια. Ύλη είναι και τα μαζικά και τα μη μαζικά, το ηλεκτρομαγνητικό και το βαρυτικό πεδίο (ο Einstein, το 1916, στο άρθρο του για την θεμελίωση της γενικής θεωρίας της σχετικότητας συμπεριέλαβε και το βαρυτικό πεδίο στην ύλη). Γενικώτερα ύλη είναι τα μαζικά σωμάτια και τα πεδία.

 Η ύλη δεν είναι επιστημονική έννοια. Είναι φιλοσοφική κατηγορία και συνεπώς δεν επιδέχεται μέτρηση. Δεν υπάρχει μέτρο της ύλης. Επιστημονικές έννοιες είναι τα δύο βασικά κατηγορήματα της ύλης: η μάζα ως μέτρο της αδράνειας, και η ενέργεια ως μέτρο της κίνησης. Οι δύο έννοιες συνδέονται ποσοτικά με την γνωστή εξίσωση του Einstein: Ε = m ^. c². O Einstein με την ειδική θεωρία της σχετικότητας κατέδειξε την βαθύτερη ενότητα των δύο βασικών κατηγορημάτων της ύλης (της αδράνειας και της κίνησης), ενότητα, η οποία, ωστόσο, δεν καταργεί την μεταξύ τους οντολογική διαφορά. Ο μεγάλος αυτός επιστήμονας, με τον ορισμό της ύλης που έδωσε, θεμελίωσε έναν φυσικό ρεαλισμό και ευρύτερα έναν φιλοσοφικό μονισμό, συνεχίζοντας την μεγάλη μονιστική-υλιστική παράδοση, η οποία εγκαινιάστηκε από τους Προσωκρατικούς και συνεχίστηκε από τους Ατομικούς, τον Λεύκιππο, τον Δημόκριτο, τον Επίκουρο. Συνεπώς, είναι επιστημολογικό και επιστημονικό σφάλμα να ταυτίζεται η ύλη με την μάζα, και να κάνουμε λόγο για αφυλοποίηση της ύλης ή για υλοποίηση της ενέργειας. Ένας τέτοιος ισχυρισμός προϋποθέτει τον Ευκλείδειο χώρο και την κλασσική διχοτομία ύλης και ενέργειας, αντιλήψεις οι οποίες αναιρέθηκαν με την ειδική θεωρία της σχετικότητας. Τα σχετικά φαινόμενα, όπως διεξοδικά αναφέρουμε στο προηγούμενο άρθρο, δεν είναι τίποτε άλλο από μετατροπές μαζικών σωματίων σε μη μαζικά και το αντίστροφο, βάσει των εννοιών του δυνάμει και του ενεργεία και της μεταξύ τους διαλεκτικής σχέσης (το ενεργεία μέτρον του δυνάμει), την οποία εισήγαγε η μεγαλοφυής σύλληψη του Αριστοτέλη (βλ. «Αριστοτέλης και Κοπεγχάγη»).

                       (Πηγή εικόνας: http://slideplayer.gr}                   

 Ας επιστρέψουμε όμως, στον χώρο Minkowski. Όπως ήδη αναφέραμε, οι πλασματικές αλληλεπιδράσεις με άπειρη ταχύτητα, βασικό όσο και χαρακτηριστικό στοιχείο της νευτώνειας μηχανικής, την δόξα των οποίων εζήλωσαν αργότερα οι θεωρητικοί και οι υποστηρικτές της Κοπεγχιανής ερμηνείας της κβαντικής μηχανικής, εντάσσονται στο Ευκλείδειο πλαίσιο, δηλαδή σ’ έναν χώρο με σταθερή, θετική μετρική, χώρο απόλυτο και ανεξάρτητο από τον χρόνο (και την ύλη). Αντίθετα, η ενότητα των χωρικών συντεταγμένων και της χρονικής συντεταγμένης συνεπάγεται και προϋποθέτει έναν νέο τετραδιάστατο χώρο, όπου το στοιχειώδες χωροχρονικό διάστημα έχει μορφή, η οποία περιλαμβάνει και την χρονική διάσταση. Ο νέος χώρος, συνεπώς, δηλαδή ο χώρος Minkowski, είναι ψευδοευκλείδειος, και εκφράζει την ενότητα του φυσικού χώρου με τον χρόνο: ένα τετραδιάστατο σύμπαν, με τρεις χωρικές και μία χρονική διάσταση.

 Η νέα, ψευδοευκλείδεια μετρική, σε αντίθεση με την ευκλείδεια, προβλέπει διαστήματα θετικά ή χρονικού τύπου, ισότροπα (μηδενικά) και αρνητικά ή χωρικού τύπου. Ο χαρακτήρας των χωροχρονικών διανυσμάτων (χρονικού, χωρικού τύπου ή ισοτρόπων) είναι απόλυτος, δηλαδή ανεξάρτητος από το σύστημα αναφοράς.

 Πώς, όμως, καθορίζεται ο χαρακτήρας του σύμπαντος της ειδικής σχετικότητας, δηλαδή του σύμπαντος Minkowski; Όπως ήδη αναφέραμε, υπάρχουν τρεις τύποι χωροχρονικών διαστημάτων και συνεπώς τρεις κατηγορίες διανυσμάτων: διανύσματα χρονικού, χωρικού τύπου και ισότροπα. Στα τρία αυτά είδη τετραδιανυσμάτων αντιστοιχούν τρεις καθορισμένες περιοχές του σύμπαντος. Επομένως, είναι η ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση εκείνη που καθορίζει τις τρεις διαφορετικές περιοχές του σύμπαντος.

                  (Πηγή εικόνας: http://www.to-en.gr}            

 Ο τόπος διάδοσης των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων τα οποία εκπέμπονται από το σημείο Π (οποιοδήποτε κοσμικό συμβάν) είναι ένας κώνος με γωνία 90^ο, ο λεγόμενος χαρακτηριστικός κώνος. Στην επιφάνεια του κώνου (χαρακτηριστική επιφάνεια), τα διαστήματα έχουν μηδενικό μήκος. Το εσωτερικό του κώνου αποτελεί το απόλυτο μέλλον. Εδώ τα διαστήματα είναι θετικά (χρονικού τύπου). Στην περιοχή αυτή, το πριν και το ύστερα έχουν απόλυτο χαρακτήρα. Έτσι, δύο γεγονότα, τα οποία χωρίζονται από ένα διάστημα χρονικού τύπου, μπορούν να συμπέσουν στον χώρο με κατάλληλη στροφή του συστήματος συντεταγμένων, αλλά η χρονική τους σχέση δεν μπορεί να αντιστραφεί. Η αιτιακή σχέση, γενικώτερα οι μη αντιστρεπτές διαδικασίες, έχουν καθωρισμένη χρονική τάξη: πορεύονται προς την κατεύθυνση του βέλους του χρόνου, από το παρελθόν προς το μέλλον. Ένας κώνος με κοινή κορυφή και ίση γωνία κορυφής με τον προηγούμενο, αλλά με αντίστροφη τοποθέτηση, αποτελεί τον κώνο του απόλυτου παρελθόντος. Το σημείο επαφής των δύο κώνων αντιστοιχεί στην παρούσα στιγμή, στο παρόν. Την τελευτή του παρελθόντος και την απαρχή του μέλλοντος κατά τον Αριστοτέλη, ο οποίος έτσι εισήγαγε την έννοια του απειροστού.
 Έξω από τον κώνο του φωτός υπάρχουν τα διαστήματα χωρικού τύπου. Η περιοχή αυτή είναι ο τόπος του απόλυτου διαχωρισμού: δύο γεγονότα που συνδέονται με διάστημα χωρικού τύπου, είναι δυνατόν με κατάλληλο μετασχηματισμό να συμπέσουν χρονικά, αλλά η χωρική τους απόσταση δεν μπορεί να μηδενιστεί. Τέτοια γεγονότα δεν μπορούν να συνδέονται με αιτιακή σχέση.

 Τα σωμάτια με θετική μάζα κινούνται στο εσωτερικό του κώνου των ηλεκτρομαγνητικών ακτινοβολιών. Ένα τέτοιο σωμάτιο κινείται πάνω σε μία κοσμική γραμμή. Τα διαστήματα σ’ αυτήν την περιοχή (διαστήματα χρονικού τύπου) εκφράζουν την δυνατότητα για αιτιακές συσχετίσεις. Οριακά, όταν η μάζα τείνει στο μηδέν, προσεγγίζουμε τον κώνο του φωτός.

 Το σύμπαν της Σχετικότητας, όπως ήδη είπαμε, είναι τετραδιάστατο. Οι τρεις χωρικές συνιστώσες (x, y, z) και η χρονική συνιστώσα (t) σε οργανική ενότητα ορίζουν ένα κοσμικό σημείο Μ (x, y, z, t). Την πολλαπλότητα όλων των δυνατών τετράδων (x, y, z, t) o Minkowski την ονόμασε Κόσμο.

 Μία άλλη σημαντική παράμετρος της περιγραφής των σχετικιστικών φαινομένων στο τετραδιάστατο σύμπαν του Minkowski ήταν η ανάδειξη του τοπικού χαρακτήρα των φαινομένων, η ανάδειξη δηλαδή της τοπικότητας ως θεμελιακού χαρακτηριστικού της σχετικιστικής φυσικής.

 Όμως το σύμπαν της ειδικής θεωρίας παρουσιάζει δύο βασικές ιδιομορφίες: πρώτον, περιορίζει την αμεταβλητότητα των φυσικών νόμων στα αδρανειακά συστήματα. Δεύτερον, είναι ένα σύμπαν με σταθερή μετρική, η οποία δεν καθορίζεται από την κατανομή της ύλης στον χωροχρόνο. Τόσο ο πρώτος περιορισμός όσο και η δεύτερη εξιδανίκευση, ξεπεράστηκαν από την γενική θεωρία της σχετικότητας, η οποία τυπικά είναι μία θεωρία της γενικής αμεταβλητότητας.

                        (Πηγή εικόνας: http://physics4u.gr)                  

     

 Ως προς το φυσικό της περιεχόμενο, η γενική θεωρία είναι μία νέα θεωρία της βαρύτητας, και μπορεί να οριστεί ως η θεωρία των σχέσεων χώρου, χρόνου, κίνησης και ύλης.

  Η ειδική θεωρία της σχετικότητας γεννήθηκε από την σύγκρουση των μηχανιστικών αντιλήψεων με την ηλεκτρομαγνητική πραγματικότητα. Η ασυμβατότητα του κλασσικού νόμου του Νεύτωνα με μία σειρά αστρονομικών δεδομένων υπήρξε, αντίστοιχα, μία από τις αιτίες που οδήγησαν στην γενική θεωρία της σχετικότητας.

  Ο κλασσικός νόμος του Νεύτωνα παρουσίαζε ασυμφωνίες κυρίως με τις κινήσεις των μεγάλων πλανητών, της Σελήνης, του κομήτη του Encke κ.α. Διατυπώθηκαν πολλές προτάσεις, μερικές από τις οποίες ήταν αξιοσημείωτες, με σκοπό την βελτίωση του νόμου του Νεύτωνα ώστε να ταιριάζει με τα παρατηρησιακά δεδομένα. Καμία, όμως, δεν έδινε λύση στο πρόβλημα. Κοινό χαρακτηριστικό όλων αυτών των προτάσεων ήταν η προσκόλληση τους στο κλασσικό χωροχρονικό πλαίσιο, στον απόλυτο χώρο και στον απόλυτο χρόνο. Ο Einstein έδωσε τελικά λύση στο πρόβλημα, εγκαταλείποντας το κλασσικό και δημιουργώντας ένα νέο χωροχρονικό πλαίσιο. Ο Einstein πέτυχε μία σχετικιστική γενίκευση του κλασσικού νόμου της βαρύτητας, η οποία διατυπώθηκε σε μορφή ανεξάρτητη από το σύστημα αναφοράς, αδρανειακό ή μη. Οι νέοι, όμως, νόμοι απαιτούσαν ένα νέο χωροχρονικό πλαίσιο, που ήταν η γεωμετρία του Riemann. Ενός χώρου δηλαδή με μεταβλητή μετρική. Η μετρική, δηλαδή η μορφή τους χώρου, καθορίζεται από τα δυναμικά πεδία της βαρύτητας. Αυτά, με την σειρά τους, καθορίζονται από την κατανομή της ύλης στον περιβάλλοντα χώρο. Η κατανομή, όμως της ύλης δεν είναι ούτε ομοιογενής ούτε σταθερή. Ως εκ τούτου, η μετρική, η μορφή, οι γεωμετρικές ιδιότητες, η καμπυλότητα του χώρου Riemann θα μεταβάλλονται όχι μόνον από σημείο σε σημείο, αλλά και για το ίδιο σημείο του χώρου με την πάροδο του χρόνου. Στον χώρο αυτόν, επομένως, η έννοια της ωρισμένης απόστασης στερείται νοήματος. Θα μπορούσαμε να ορίσουμε μία αμετάβλητη απόσταση σε ένα σημείο του χώρου, μόνον αν τα δυναμικά της βαρύτητας θα ήταν ανεξάρτητα από τον χρόνο. Εντούτοις τα δυναμικά μεταβάλλονται και μαζί με αυτά και η μετρική, δηλαδή η απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Κατά συνέπεια, το μήκος, η απόσταση, γίνεται συνάρτηση της ύλης και της κίνησής της. Ο Einstein έγραφε χαρακτηριστικά: «Σύμφωνα με την γενική θεωρία της σχετικότητας, ο μετρικός χαρακτήρας (καμπυλότητα) του τετραδιάστατου χωροχρονικού συνεχούς καθορίζεται σε κάθε σημείο από την ύλη στο σημείο αυτό, και από την κατάσταση αυτής της ύλης. Αν λάβουμε, λοιπόν, υπ’ όψιν μας την έλλειψη ομοιομορφίας στην κατανομή της ύλης, η μετρική δομή αυτού του συνεχούς είναι αναγκαστικά εξαιρετικά περίπλοκη» (A. Einstein, Cosmological Considerations, στο The Principle of Relativity, σελ. 183). Για πρώτη φορά στην ιστορία της φυσικής, ο χώρος συνδέθηκε οργανικά με την ύλη, η οποία με την σειρά της καθορίζει την καμπυλότητα, δηλαδή την μορφή του χώρου.

                  (Πηγή εικόνας: http://physiclessons.blogspot.gr)             

 Η μεταβλητότητα της ρημάνειας μετρικής δεν αφορά μόνον τις χωρικές συνιστώσες. Η ροή του χρόνου είναι κι αυτή συνάρτηση των δυναμικών της βαρύτητας, δηλαδή της κατανομής της ύλης. Έτσι ο ρυθμός των «ρολογιών» επιβραδύνεται στις περιοχές όπου υπάρχει τεράστια συγκέντρωση μαζών. Το φως λ.χ. που έρχεται από την επιφάνεια μεγάλων άστρων παρουσιάζει μία μετατόπιση προς το ερυθρό, εξαιτίας της μεταβολής των συχνοτήτων εκπομπής των ατόμων.

 Στον κλασσικό Ευκλείδειο χώρο, ο χρόνος ρέει ομοιόμορφα για όλα τα αδρανειακά συστήματα^. υπάρχει ένα κοινός παγκόσμιος χρόνος. Στην ειδική θεωρία της σχετικότητας, ο χρόνος ρέει διαφορετικά στα διάφορα συστήματα αδρανείας. Ωστόσο, ο ιδιοχρόνος είναι ο ίδιος για όλα τα σημεία ενός και του αυτού συστήματος αδρανείας. Στην γενική θεωρία της σχετικότητας, ο χρόνος δεν διαφέρει μόνον από το ένα σύστημα αναφοράς στο άλλο. Ο χρόνος ρέει διαφορετικά ακόμα και για τα διάφορα σημεία του ίδιου συστήματος αναφοράς: οι ιδιότητες του χωροχρόνου μεταβάλλονται από σημείο σε σημείο, ακόμα και για το ίδιο σημείο του χώρου. Συνεπώς, ο ρυθμός του χρόνου δεν είναι σταθερός για κανένα σημείο ενός και του αυτού συστήματος αναφοράς. Η κίνηση στο πεδίο βαρύτητας πραγματοποιείται πάνω σε γραμμές ελάχιστου μήκους (γεωδαισικές γραμμές). Εξαιτίας, όμως, του μη Ευκλείδειου χαρακτήρα του χώρου, η τροχιά δεν είναι ευθύγραμμη και η κίνηση δεν είναι ομοιόμορφη. Η έννοια της ευθείας στον ρημάνειο χώρο γενικεύεται στην έννοια της γεωδαισικής γραμμής, η όποια είναι, όπως και η κλασσική ευθεία στον χώρο του Ευκλείδη, η πιο σύντομη γραμμή ανάμεσα σε δύο σημεία Α και Β του χώρου Riemann. Οι ευθείες, οι γραμμές ελάχιστου μήκους, που αντιστοιχούν στο πραγματικό σύμπαν είναι γεωδαισικές ενός ρημάνειου χώρου, ο οποίος εκφράζει, στα πλαίσια της γενικής θεωρίας της σχετικότητας, τις ιδιότητες του φυσικού χωροχρόνου.

 Η απολυτότητα της Ευκλείδειας γεωμετρίας και η κλασσική έννοια της ευθείας ξεπεράστηκαν από την γενική θεωρία της σχετικότητας. Η γεωμετρία – και η έννοια της ευθείας – δεν ορίζονται ανεξάρτητα, αλλά με βάση την κατανομή της ύλης στον χωροχρόνο. Η γεωμετρία παύει πλέον να είναι η επιστήμη των «καθαρών μορφών» και συνδέεται οργανικά με την φυσική.

 Όπως έχουμε αναφέρει, ο χώρος Riemann μπορεί να μετατραπεί σε χώρο Minkowski υπό ειδικές συνθήκες (απουσία ύλης, μεγάλες ταχύτητες) ή σε χώρο του Ευκλείδη (απουσία ύλης, μικρές ταχύτητες). Μπορούμε, επίσης, να ορίσουμε ένα σύστημα αδρανειακό σε μία απειροστή περιοχή, πράγμα που σημαίνει ότι μπορούμε να «απαλείψουμε» τοπικά, σε έναν χώρο απειροστό, το πεδίο βαρύτητας. Αλλά η δυνατότητα αυτή είναι τοπική και δεν αφορά παρά μία πεπερασμένη περιοχή του χώρου. Η δυνατότητα αυτή σχετίζεται με την αρχή ισοδυναμίας. Σύμφωνα μ’ αυτήν, το πεδίο βαρύτητας σε περιορισμένη περιοχή του χώρου, είναι ισοδύναμο με το πεδίο δυνάμεως που δημιουργείται από μία επιταχυνόμενη κίνηση (η αρχή αυτή είναι γενίκευση της κλασσικής παραδοχής, ότι η βαρυτική μάζα που εισάγεται στον νόμο του Νεύτωνα έχει την ίδια τιμή με την αδρανειακή μάζα που εισέρχεται στον ίδιο νόμο). Η αρχή αυτή παρερμηνεύτηκε σε ωρισμένες περιπτώσεις. Θα πρέπει να τονίσουμε ότι στην πραγματικότητα πρόκειται μόνο για αναλογία, και μάλιστα για αναλογία με τοπικό χαρακτήρα: το πεδίο βαρύτητας είναι ισοδύναμο με ένα πεδίο δυνάμεων μόνον τοπικά. Τα πεδία που είναι ισοδύναμα με μη αδρανειακά συστήματα μπορούν να εξαφανιστούν με κατάλληλη επιλογή του συστήματος αναφοράς. «Αλλά το πραγματικό βαρυτικό πεδίο», όπως γράφουν οι Landau-Lifschitz, «δεν είναι δυνατόν να απαλειφθεί με μετασχηματισμό των συντεταγμένων. Όταν υπάρχει ένα τέτοιο πεδίο, ο χωρόχρονος είναι τέτοιος, ώστε οι συνιστώσες οι οποίες ορίζουν την μετρική του να μην μπορούν να αναχθούν με οποιονδήποτε μετασχηματισμό των συντεταγμένων, στην Γαλιλαιϊκή μορφή σ’ ολόκληρο τον χώρο. Ο χώρος είναι καμπύλος, αντίθετα με τον επίπεδο χωρόχρονο, και μία τέτοια αναγωγή είναι ανέφικτη» (Landau-Lifschitz, The classical theory of fields, Addison – Wesley, σ. 260).

 Η θεωρία του Einstein προβλέπει την ύπαρξη βαρυτικών κυμάτων. Τα κύματα αυτά, σύμφωνα με τους υπολογισμούς του Einstein, μεταδίδονται με ταχύτητα ίση με την ταχύτητα του φωτός. Η ύπαρξη των κυμάτων βαρύτητας δεν είχε ανιχνευθεί μέχρι προσφάτως, όταν ομάδα ερευνητών κατάφερε, όπως οι ίδιοι ισχυρίζονται, να «αποτυπώσει» τα κύματα αυτά. Εάν το εύρημα αυτό επαληθευθεί τότε θα πρόκεται για μία ακόμη επιβεβαίωση της ορθότητας της θεωρίας του Einstein, μιας θεωρίας η οποία άλλαξε ριζικά τον τρόπο με τον οποίο αντιλαμβανόμαστε τον Κόσμο μας.

Τελικές παρατηρήσεις. Στο παρόν άρθρο παρουσιάσαμε τρεις από τους μετρικούς χώρους, οι οποίοι χρησιμοποιούνται στην Φυσική. Ο Ευκλείδειος χώρος, συνυφασμένος με τον απόλυτο χώρο και τον απόλυτο χρόνο, αντιστοιχεί στην χαμηλή τεχνική, στις μικρές ταχύτητες και στα ατελή μέσα πειραματισμού της εποχής του Ευκλείδη, καθώς και της εποχής του Νεύτωνα. Ο χώρος Minkowski αντιστοιχεί στην περίοδο της ανάπτυξης του ηλεκτρομαγνητισμού και αποτελεί το πλαίσιο μιας περισσότερο λεπτής κατανόησης του φυσικού κόσμου. Η γεωμετρία του Riemann προϋπήρχε της θεωρίας της βαρύτητας του Einstein. Η θεωρία, όμως, αυτή ήταν εκείνη που έδωσε στην γεωμετρία του Riemann φυσικό περιεχόμενο, ήταν αυτή που ανήγαγε την γεωμετρία από επιστήμη των «καθαρών μορφών» σε φυσική επιστήμη. Το βασικό χαρακτηριστικό της θεωρίας της σχετικότητας είναι ότι διατυπώνει τους φυσικούς νόμους με τρόπο που να μην εξαρτώνται από οποιοδήποτε σύστημα αναφοράς. Συνεπώς, θα μπορούσαμε να πούμε ότι ο όρος σχετικότητα βρίσκεται σε αντίφαση με το περιεχόμενο της θεωρίας. Ενδεχομένως θα μπορούσαμε να ονομάσουμε αυτήν την θεωρία ως μία θεωρία γενικευμένης μη σχετικότητας ή γενικευμένης αντικειμενικότητας. Κατά τον Vladimir Fock, η ουσία της θεωρίας της σχετικότητας βρίσκεται στα αξιώματα για τον χώρο και τον χρόνο, και τα αξιώματα αυτά έχουν απόλυτο χαρακτήρα. Η θεωρία αυτή είναι μία θεωρία της βαρύτητας και ταυτόχρονα θεωρία του χώρου και του χρόνου. Θα μπορούσε, λοιπόν, να ονομαστεί – κατά τον Fock – χρονογεωμετρική θεωρία της βαρύτητας.

 Ο Einstein με την θεωρία του συνέδεσε την μετρική του χωρόχρονου με την βαρύτητα και γενικώτερα με την κατανομή της ύλης. Η αρχή της μεταβλητότητας της μετρικής και η απόρριψη της αλύγιστης μετρικής, τόσο του Ευκλείδη όσο και του Minkowski, αποτελούν μία από τις μεγάλες επιστημονικές επαναστάσεις: για πρώτη φορά στην ιστορία της φυσικής, η ύλη καθορίζει την μορφή του χωρόχρονου.

 Μέσα σ’ αυτό το ευλύγιστο σύμπαν, έχουμε μία γενικευμένη αμεταβλητότητα: αμεταβλητότητα ως προς τους μετασχηματισμούς του Lorentz, που σημαίνει αμεταβλητότητα ως προς τις μετατοπίσεις και περιστροφές του συστήματος συντεταγμένων, αμεταβλητότητα ως προς την μετατόπιση της αρχής του χρόνου και την αλλαγή του σημείου του κ.ο.κ. Το αναλλοίωτο των φυσικών νόμων είναι ισοδύναμο, από τυπική άποψη, με την αντικειμενικότητα τους. Κατά τον Margenau, η ιδέα των αναλλοίωτων είναι ο πυρήνας της θεωρίας της σχετικότητας.

  Πώς, όμως, φθάσαμε στις θεωρίες της σχετικότητας; Πώς και γιατί ο νεαρός Einstein πέτυχε εκεί όπου απέτυχαν οι πλέον επιφανείς επιστήμονες της εποχής του; Στα ερωτήματα αυτά θα δώσουμε απάντηση στα επόμενα άρθρα.

ΠΗΓΕΣ.

Ε. Μπιτσάκης. Η δυναμική του ελάχιστου. Εκδ. Δαίδαλος – Ι. Ζαχαρόπουλος, Αθήνα 2003.

Ε. Μπιτσάκης. Η εξέλιξη των θεωριών της Φυσικής. Εκδ. Δαίδαλος – Ι. Ζαχαρόπουλος, Αθήνα 2008.

L. Landau, Y. Rumer. Τι είναι η θεωρία της Σχετικότητας. Εκδ. Γ.Α. Πνευματικού, Αθήνα (μετάφραση Νίκος Κιάος και Αντώνης Μαργαρίτης).